Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, 9-10 класс» - сложность 2 с решениями

Из вершины <i>A</i> квадрата <i>ABCD</i> со стороной 1 проведены два луча, пересекающие квадрат так, что вершина <i>C</i> лежит между лучами. Угол между лучами равен β. Из вершин <i>B</i> и <i>D</i> проведены перпендикуляры к лучам. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.

Правильный треугольник разбит прямыми, параллельными его сторонам, на равные между собой правильные треугольники. Один из маленьких треугольников чёрный, остальные – белые. Разрешается перекрашивать одновременно все треугольники, пересекаемые прямой, параллельной любой стороне исходного треугольника. Всегда ли можно с помощью нескольких таких перекрашиваний добиться того, чтобы все маленькие треугольники стали белыми?

Рассматриваются всевозможные пары  (<i>a, b</i>)  натуральных чисел, где  <i>a < b</i>.  Некоторые пары объявляются чёрными, остальные – белыми.

Можно ли это сделать так, чтобы для любых натуральных <i>a</i> и <i>d</i> среди пар  (<i>a, a + d</i>),  (<i>a, a</i> + 2<i>d</i>),  (<i>a + d, a</i> + 2<i>d</i>)  встречались и чёрные, и белые?

Доказать, что существует бесконечно много таких пар  (<i>a, b</i>)  натуральных чисел, что  <i>a</i>² + 1  делится на <i>b</i>, а  <i>b</i>² + 1  делится на <i>a</i>.

В центре квадратного бассейна находится мальчик, а в вершине на берегу стоит учительница. Максимальная скорость мальчика в воде в три раза меньше максимальной скорости учительницы на суше. Учительница плавать не умеет, а на берегу мальчик бегает быстрее учительницы. Сможет ли мальчик убежать?