Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, 7-8 класс» для 2-8 класса - сложность 2-4 с решениями

Внутри квадрата <i>ABCD</i> взята точка <i>M</i>. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников  <i>ABM, BCM, CDM</i> и <i>DAM</i> образуют квадрат.

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

На шахматной доске <i>N×N</i> стоят <i>N</i>² шашек. Можно ли их переставить так, чтобы любые две шашки, отстоявшие на ход коня, после перестановки отстояли друг от друга лишь на ход короля (то есть стояли рядом)? Рассмотрите два случая:

  а)  <i>N</i> = 3;

  б)  <i>N</i> = 8.

Найти все такие натуральные <i>k</i>, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.