Олимпиадные задачи из источника «второй тур, 7-8 класс»

  а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?

  б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?

В Швамбрании <i>N</i> городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться. Доказать, что

  а) волшебник может это сделать;

  б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и найдётся город, из которого нельзя выехать;

  в) существует единственный путь, обходящий все города;

  г) волшебник может осуществить своё намерение <i>N</i>! способами.

Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника, один из острых углов которого равен 30°. Из этого угла по медиане противоположной стороны выпущен шар (материальная точка). Доказать, что после восьми отражений (угол падения равен углу отражения) он попадёт в лузу, находящуюся в вершине угла 60°.

Натуральные числа <i>M</i> и <i>K</i> отличаются перестановкой цифр.

Доказать, что

  а) сумма цифр числа 2<i>M</i> равна сумме цифр числа 2<i>K</i>;

  б) сумма цифр числа ^<i>M</i>/₂  равна сумме цифр числа ^<i>K</i>/₂  (если <i>M</i> и <i>K</i> чётны);

  в) сумма цифр числа 5<i>M</i> равна сумме цифр числа 5<i>K</i>.

Доказать, что из 17 различных натуральных чисел либо найдутся пять таких чисел <i>a, b, c, d, e</i>, что каждое из чисел этой пятёрки, кроме последнего, делится на число, стоящее за ним, либо найдутся пять таких чисел, что ни одно из них не делится на другое.

Правильный 4<i>k</i>-угольник разрезан на параллелограммы. Доказать, что среди них не менее <i>k</i> прямоугольников. Найти их общую площадь, если длина стороны 4<i>k</i>-угольника равна <i>a</i>.

Пешеход шёл 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он проходил ровно 5 км.

Следует ли из этого, что его средняя скорость за всё время равна 5 км/час?