Назад
Задача

  а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?

  б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?

Решение

  а) Пусть a и a1 – первые клетки, окрашенные, соответственно, игроками К и С (см. рисунок). Вторым ходом К окрашивает клетку b, стоящую в одном столбце с a, так, что расстояние D между клетками b и a больше, чем между a1 и a.

  После ответного хода С одна из клетокcиc1того же столбца, находящихся сответственно отbиaна том же расстоянииD, (пустьc) останется неокрашенной. Её окрашивает К третьим ходом. Аналогично четвёртым ходом К окрашивает клеткуdилиd1(которые находятся отcиaна расстоянии 2D). Допустим, он окрасилd, тогда рассмотрим столбцы, содержащие клеткиe, f, gиh. Один из них, например, содержащийe, свободен от синих клеток, потому что синих клеток всего четыре и одна из них –a1– заведомо не стоит в этих столбцах. Окрасивe, игрок К получит выигрышную позицию (клеткиa, b, c, e): следующим ходом он "дополнит" до квадрата либо клеткиa, b, e, либо клеткиb, c, e.   б) Сначала К окрашивает 38 произвольных клеток некоторой (первой) строки. Затем выбирает вторую строку, лежащую под всеми синими клетками, и окрашивает в ней клетки, лежащие под красными клетками первой строки. Очевидно, он успеет окрасить не менее трети таких клеток, то есть 37. Далее аналогично выбирается третья строка и в ней окрашивается 36 клеток, ..., выбирается седьмая строка и в ней окрашивается 3² клеток. Наконец К выбирает диагональ l, лежащую под всеми синими клетками, и окрашивает в ней три клетки, лежащие под красными клетками седьмой строки (а значит, и всех остальных строк).

  Рассмотрим семь столбцов, в которых расположены клетки пересечения l с семью вышеупомянутыми строками. Так как на последнем этапе С закрасил синим шесть клеток, то в одном из этих столбцов новых синих клеток нет (а все старые лежат над l). К закрашивает клетку a пересечения этого столбца с l (и с некоторой – i-й – строкой). В результате образовалось три квадрата с общей "вершиной" а и еще двумя красными "вершинами" – на l и в i-й строке. Следующим ходом К "замкнёт" один из этих квадратов: С сможет "обезопасить" только два из них.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Комментариев нет