Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» - сложность 3-5 с решениями
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Назада) Группа людей прошла опрос, состоящий из 20 вопросов, на каждый из которых возможно два ответа. После опроса оказалось, что для любых 10 вопросов и любой комбинации ответов на эти вопросы существует человек, давший именно эти ответы на эти вопросы. Обязательно ли найдутся два человека, у которых ответы ни на один вопрос не совпали?
б) Решите ту же задачу, если на каждый вопрос есть 12 вариантов ответа.
Дан правильный 2<i>n</i>-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>2<i>n</i></sub> с центром <i>O</i>, причём <i>n</i> ≥ 5. Диагонали <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub><i>n</i>–1</sub> и <i>A</i><sub>3</sub><i>A<sub>n</sub></i> пересекаются в точке <i>F</i>, а <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>3</sub> и <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>2<i>n</i>–2</sub> – в точке <i>P</i>.
Докажите, что <i>PF = PO</i&g...
Квадратная коробка конфет разбита на 49 равных квадратных ячеек. В каждой ячейке лежит шоколадная конфета – либо чёрная, либо белая. За один присест Саша может съесть две конфеты, если они одного цвета и лежат в соседних по стороне или по углу ячейках. Какое наибольшее количество конфет гарантированно может съесть Саша, как бы ни лежали конфеты в коробке?
Произвольный треугольник разрезали на равные треугольники прямыми, параллельными сторонам (как показано на рисунке).
Докажите, что ортоцентры шести закрашенных треугольников лежат на одной окружности. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65872/problem_65872_img_2.gif"></div>