Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс ()» для 10 класса - сложность 2-4 с решениями

Шеренга состоит из <i>N</i> ребят попарно различного роста. Её разбили на наименьшее возможное количество групп стоящих подряд ребят, в каждой из которых ребята стоят по возрастанию роста слева направо (возможны группы из одного человека). Потом в каждой группе переставили ребят по убыванию роста слева направо. Докажите, что после  <i>N</i> – 1  такой операции ребята будут стоять по убыванию роста слева направо.

Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной <i>h</i> (надрез – это сегмент круга, <i>h</i> – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если

  а)  <i>h</i> = 17 см;

  б)  <i>h</i> = 18 см?

Дан вписанный четырёхугольник <i>АВСD</i>. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Пусть <i>К</i> и <i>N</i> – середины диагоналей.

Докажите, что сумма углов <i>PKQ</i> и <i>PNQ</i> равна 180°.

Все коэффициенты некоторого непостоянного многочлена целые и по модулю не превосходят 2015.

Докажите, что любой положительный корень этого многочлена больше чем ¹/₂₀₁₆.

Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.

Геометрическая прогрессия состоит из 37 натуральных чисел. Первый и последний члены прогрессии взаимно просты.

Докажите, что 19-й член прогрессии является 18-й степенью натурального числа.