Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

  В некотором государстве ценятся золотой и платиновый песок. Золото можно менять на платину, а платину на золото по курсу, который определяется натуральными числами <i>g</i> и <i>p</i> так: <i>x</i> граммов золотого песка равноценны <i>y</i> граммам платинового, если  <i>xp = yg</i>  (числа <i>x</i> и <i>y</i> могут быть нецелыми). Сейчас у банкира есть по килограмму золотого и платинового песка, а  <i>g = p</i> = 1001.  Государство обещает каждый день уменьшать одно из чисел <i>g</i> и <i>p</i> на единицу, так что через 2000 дней они оба станут единицами; но последовательность уменьшений неизвестна. Может ли банкир каждый день менять песок так, чтобы в конце гарантиров...

На столе лежал проволочный треугольник с углами <i>x</i>°, <i>y</i>°, <i>z</i>°. Хулиган Коля согнул каждую сторону треугольника на один градус, в результате чего получился невыпуклый шестиугольник c внутренними углами  (<i>x</i> – 1)°,  181°,  (<i>y</i> – 1)°,  181°, (<i>z</i> – 1)°,  181°.  Докажите, что точки сгиба делили стороны исходного треугольника в одном и том же отношении.

Петя подсчитал количество всех возможных <i>m</i>-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только четыре буквы T, O, W и N, причём в каждом слове букв T и O поровну. Вася подсчитал количество всех возможных 2<i>m</i>-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только две буквы T и O, и в каждом слове этих букв поровну. У кого слов получилось больше? (Слово – это любая последовательность букв.)

Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру <i>k</i> раз, и все <i>k</i> раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение <i>k</i>.