Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс» для 11 класса - сложность 1-2 с решениями

На сторонах правильного 2009-угольника отметили по точке. Эти точки являются вершинами 2009-угольника площади <i>S</i>. Каждую из отмеченных точек отразили относительно середины стороны, на которой эта точка лежит. Докажите, что 2009-угольник с вершинами в отражённых точках также имеет площадь <i>S</i>.

Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ + <i>d</i>³ = 100¹⁰⁰ ?

В пространстве расположена замкнутая шестизвенная ломаная <i>ABCDEF</i>, противоположные звенья которой параллельны  (<i>AB || DE,  BC || EF</i>  и

<i>CD || FA</i>).  При этом <i>AB</i> не равно <i>DE</i>. Докажите, что все звенья ломаной лежат в одной плоскости.