Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс» - сложность 3-5 с решениями

Дан картонный прямоугольник со сторонами <i>a</i> см и <i>b</i> см, где  ^<i>b</i>/₂ < <i>a < b</i>.

Докажите, что его можно разрезать на три куска, из которых складывается квадрат.

Сто номерков выложили в ряд в порядке возрастания: 00, 01, 02, 03, ..., 99. Затем номерки переставили так, что каждый следующий номерок стал получаться из предыдущего увеличением или уменьшением ровно одной из цифр на 1 (например, после 29 может идти 19, 39 или 28, а 30 или 20 – не может). Какое наибольшее число номерков могло остаться на своих местах?