Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс» для 1-9 класса - сложность 2-4 с решениями

а) На столе лежат 5 одинаковых бумажных треугольников. Каждый разрешается сдвигать в любом направлении, <i>не поворачивая</i>. Верно ли, что всегда каждый из этих треугольников можно накрыть четырьмя другими?

б) На столе лежат 5 одинаковых <i>равносторонних</i> бумажных треугольников. Каждый разрешается сдвигать в любом направлении, не поворачивая. Докажите, что каждый из этих треугольников можно накрыть четырьмя другими.

В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?

В треугольнике одна из средних линий больше одной из медиан. Докажите, что этот треугольник – тупоугольный.

Натуральное число <i>n</i> разрешается заменить на число <i>ab</i>, если  <i>a + b = n</i>  и числа <i>a</i> и <i>b</i> натуральные.

Можно ли с помощью таких замен получить из числа 22 число 2001?