Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс»

В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>A', B', C'</i> лежат на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что  ∠<i>AC'B'</i> = ∠<i>B'A'C</i>,  ∠<i>CB'A'</i> = ∠<i>A'C'B</i>,  ∠<i>BA'C'</i> = ∠<i>C'B'A</i>.  Докажите, что точки <i> A', B', C'</i> – середины сторон треугольника <i>ABC</i>.

Назовём <i>крокодилом</i> шахматную фигуру, ход которой заключается в прыжке на <i>m</i> клеток по вертикали или по горизонтали, и потом на <i>n</i> клеток в перпендикулярном направлении. Докажите что для любых <i>m</i> и <i>n</i> можно так раскрасить бесконечную клетчатую доску в два цвета (для каждых конкретных <i>m</i> и <i>n</i> своя раскраска), что каждые две клетки, соединённые одним ходом крокодила, будут покрашены в разные цвета.

12 кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: "До меня соврали один раз". Другой сказал: "А теперь – дважды". – "А теперь – трижды", – сказал третий, и так далее до 12-го, который сказал: "А теперь соврали 12 раз". Тут ведущий прервал дискуссию. Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно подсчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же раз всего соврали кандидаты?

Квадрат целого числа имеет вид ...09 (оканчивается цифрами 0 и 9). Докажите, что третья справа цифра чётна.

Куб со стороной 20 разбит на 8000 единичных кубиков, и в каждом кубике записано число. Известно, что в каждом столбике из 20 кубиков, параллельном ребру куба, сумма чисел равна 1 (рассматриваются столбики всех трёх направлений). В некотором кубике записано число 10. Через этот кубик проходит три <i>слоя</i> 1×20×20, параллельных граням куба. Найдите сумму всех чисел вне этих слоёв.