Олимпиадные задачи из источника «2 турнир (1980/1981 год)» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями
2 турнир (1980/1981 год)
НазадНа бесконечной клетчатой бумаге отмечено шесть клеток (см. рисунок).
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/97775/problem_97775_img_2.gif"></div>На некоторых клетках стоят фишки. Положение фишек разрешается преобразовывать по следующему правилу: если клетки соседняя сверху и соседняя справа от данной фишки обе свободны, то можно поставить в эти клетки по фишке, убрав при этом старую. Ставится цель за некоторое количество таких операций освободить все шесть отмеченных клеток. Можно ли достигнуть этой цели, если а) в исходной позиции имеются всего 6 фишек, и они стоят на отмеченных клетках; б) в исходной позиции имеется всего одна фишка, и она стоит в левой нижней отмеченной клетке.
<i>N</i> друзей одновременно узнали <i>N</i> новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.
Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.
Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая:
а) <i>N</i> = 64,
б) <i>N</i> = 55,
в) <i>N</i> = 100.
Будем говорить, что две пирамиды <i>соприкасаются гранями</i>, если эти пирамиды не имеют общих внутренних точек и некоторая грань одной пирамиды пересекается с некоторой гранью другой пирамиды по многоугольнику. Можно ли расположить восемь пирамид в пространстве так, чтобы каждые две соприкасались гранями?
64 друга одновременно узнали 64 новости, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. Каждый разговор длится 1 час. Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? (Во время одного разговора можно передать сколько угодно новостей.)
<i>M</i> – множество точек на плоскости. Точка <i>O</i> называется "почти центром симметрии" множества <i>M</i>, если из <i>M</i> можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества <i>O</i> является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?