Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс» для 5-8 класса - сложность 2 с решениями

В какое наибольшее количество цветов можно раскрасить клетки шахматной доски 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками того же цвета?

В угол вписана окружность с центром <i>O</i>. Через точку <i>A</i>, симметричную точке <i>O</i> относительно одной из сторон угла, провели к окружности касательные, точки пересечения которых с дальней от точки <i>A</i> стороной угла – <i>B</i> и <i>C</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на биссектрисе данного угла.

Барон Мюнхгаузен утверждает, что ему удалось составить некоторый прямоугольник из нескольких подобных между собой непрямоугольных треугольников. Можно ли ему верить? (Среди подобных треугольников могут быть и равные.)

а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.