Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 10-11 класс» - сложность 2-3 с решениями
весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
НазадДокажите, что существует бесконечно много таких троек чисел <i>n</i> – 1, <i>n</i>, <i>n</i> + 1, что:
a) <i>n</i> представимо в виде суммы двух квадратов натуральных (целых положительных) чисел, а <i>n</i> – 1 и <i>n</i> + 1 – нет;
б) каждое из трёх чисел представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>) угол <i>A</i> равен α. На стороне <i>AB</i> взята точка <i>D</i> так, что <i>AD = <sup>AB</sup></i>/<sub><i>n</i></sub>. Найдите сумму <i>n</i> – 1 углов, под которыми виден отрезок <i>AD</i> из точек, делящих сторону <i>BC</i> на <i>n</i> равных частей:
а) при <i>n</i> = 3;
б) при произвольном <i>n</i>.
Кузнечик вначале сидит в точке <i>M</i> плоскости <i>Oxy</i> вне квадрата 0 ≤ <i>x</i> ≤ 1, 0 ≤ <i>y</i> ≤ 1 (координаты <i>M</i> – нецелые, расстояние от <i>M</i> до центра квадрата равно <i>d</i>). Кузнечик прыгает в точку, симметричную <i>M</i> относительно самой правой (с точки зрения кузнечика) вершины квадрата. Докажите, что за несколько таких прыжков кузнечик не сможет удалиться от центра квадрата более чем на 10<i>d</i>.
Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?