Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс» для 10-11 класса - сложность 2-5 с решениями

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) на отрезке [<i>a, b</i>] равна максимуму из нескольких функций вида <i>y = C</i>·10^{–|<i>x–d</i>|} (с различными <i>d</i> и <i>C</i>, причём все <i>C</i> положительны). Дано, что

<i>f</i>(<i>a</i>) = <i>f</i>(<i>b</i>). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.

Дан куб с ребром длины <i>n</i> см. В нашем распоряжении имеется длинный кусок изоляционной ленты шириной 1 см. Требуется обклеить куб лентой, при этом лента может свободно переходить через ребро на другую грань, по грани она должна идти по прямой параллельно ребру и не свисать с грани вбок. На сколько кусков необходимо разрезать ленту, чтобы обклеить куб?