Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 7-9 класса - сложность 3-5 с решениями

Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

  а) Докажите, что число её членов меньше 100.

  б) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами.

  в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.

Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:

  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;

  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;

  3) среди чисел нет равных;

  4) все числа не больше 1991?

<i>n</i> школьников хотят разделить поровну <i>m</i> одинаковых шоколадок, при этом каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.

  а) При каких <i>n</i> это возможно, если   <i>m</i> = 9?

  б) При каких <i>n</i> и <i>m</i> это возможно?