Олимпиадные задачи из источника «XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)» для 6-8 класса - сложность 2 с решениями

Длины сторон треугольника <i>ABC</i> не превышают 1.

Докажите, что  <i>p</i>(1 – 2<i>Rr</i>) ≥ 1,  где <i>p</i> – полупериметр, <i>R</i> и <i>r</i> – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре подобных треугольника. Докажите, что в него можно вписать окружность.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Две окружности, проходящие через вершину <i>A</i>, касаются стороны <i>BC</i> в точках <i>B</i> и <i>C</i> соответственно. Пусть <i>D</i> – вторая точка пересечения этих окружностей (<i>A</i> лежит ближе к <i>BC</i>, чем <i>D</i>). Известно, что  <i>BC</i> = 2<i>BD</i>.  Докажите, что  ∠<i>DAB</i> = 2∠<i>ADB</i>.

В параллелограмме <i>ABCD</i> провели трисектрисы углов <i>A</i> и <i>B</i>. Трисектрисы, ближние к стороне <i>AB</i>, пересекаются в точке <i>O</i>. Обозначим пересечение трисектрисы <i>AO</i> со второй трисектрисой угла <i>B</i> через <i>A</i>₁, а пересечение трисектрисы <i>BO</i> со второй трисектрисой угла <i>A</i> через <i>B</i>₁. Пусть <i>M</i> – середина отрезка <i>A</i>₁<i>B</i>₁, а прямая <i>MO</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>N</i>. Докажите, что треугольник <i>A</i>...

Таня вырезала из бумаги выпуклый многоугольник и несколько раз его согнула так, что получился двухслойный четырёхугольник.

Мог ли вырезанный многоугольник быть семиугольником?

Через вершины <i>B</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> провели перпендикулярно прямой <i>BC</i> прямые <i>b</i> и <i>c</i> соответственно. Серединные перпендикуляры к сторонам <i>AC</i> и <i>AB</i> пересекают прямые <i>b</i> и <i>c</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что прямая <i>PQ</i> перпендикулярна медиане <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i>.

Есть два равных фанерных треугольника, один из углов которых равен α (эти углы отмечены). Расположите их на плоскости так, чтобы какие-то три вершины образовали угол, равный ^α/₂. (Никакими инструментами, даже карандашом, пользоваться нельзя.)

Пусть <i>ABCD</i> – трапеция, в которой углы <i>A</i> и <i>B</i> прямые,  <i>AB = AD,  CD = BC + AD,  BC < AD</i>.

Докажите, что угол <i>ADC</i> в два раза больше угла <i>ABE</i>, где <i>E</i> – середина <i>AD</i>.