Олимпиадные задачи из источника «IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)» для 2-9 класса - сложность 4 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>AD</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> являются проекциями вершин <i>B</i> и <i>C</i> на <i>AD</i>. Окружность с диаметром <i>MN</i> пересекает <i>BC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Докажите, что  ∠<i>BAX</i> = ∠<i>CAY</i>.

Вписанная в треугольник <i>ABC</i> окружность касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A', B', C'</i> соответственно. Перпендикуляр, опущенный из центра <i>I</i> этой окружности на медиану <i>CM</i>, пересекает прямую <i>A'B'</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что  <i>CK || AB</i>.

Вокруг треугольника <i>ABC</i> описана окружность. Пусть <i>X</i> – точка внутри окружности, <i>K</i> и <i>L</i> – точки пересечения этой окружности и прямых <i>BX</i> и <i>CX</i> соответственно. Прямая <i>LK</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>E</i>, а прямую <i>AC</i> в точке <i>F</i>. Найдите геометрическое место таких точек <i>X</i>, что описанные окружности треугольников <i>AFK</i> и <i>AEL</i> касаются.

Дан треугольник <i>ABC</i> и такая точка <i>F</i>, что  ∠<i>AFB</i> = ∠<i>BFC</i> = ∠<i>CFA</i>.  Прямая, проходящая через <i>F</i> и перпендикулярная <i>BC</i>, пересекает медиану, проведённую из вершины <i>A</i>, в точке <i>A</i>₁. Точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ определяются аналогично. Докажите, что <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника <i>ABC</i>.