Олимпиадные задачи из источника «11 класс» для 7-8 класса

На плоскости дан угол и точка <i>К</i> внутри него. Доказать, что найдётся точка <i>М</i>, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через <i>К</i>, пересекает стороны угла в точках <i>А</i> и <i>В</i>, то <i>МК</i> является биссектрисой угла <i>АМВ</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен α,  <i>BC = a</i>.  Вписанная окружность касается прямых <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>P</i>.

Найти длину хорды, высекаемой на прямой <i>MP</i> окружностью с диаметром <i>BC</i>.

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – середины сторон правильного треугольника <i>ABC</i>. Три параллельные прямые, проходящие через <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, пересекают, соответственно, прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>C</i>₁<i>A</i>₁, <i>A</i>₁<i>B</i>₁ в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i...