Олимпиадные задачи из источника «2 (2010 год)» для 7-9 класса - сложность 2 с решениями

Занумеруем все простые числа в порядке возрастания:  <i>p</i>₁ = 2,  <i>p</i>₂ = 3,  ... .

Может ли среднее арифметическое   <img align="middle" src="/storage/problem-media/65076/problem_65076_img_2.gif">   при каком-нибудь  <i>n</i> ≥ 2  быть простым числом?

В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.

Даны натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i>, причём  <i>a</i> < 1000.  Докажите, что если <i>a</i>²¹ делится на <i>b</i>¹⁰, то <i>a</i>² делится на <i>b</i>.

На гипотенузе <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>K</i> так, что  <i>AB = AK</i>.  Отрезок <i>AK</i> пересекает биссектрису <i>CL</i> в её середине.

Найдите острые углы треугольника <i>ABC</i>.

Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.

Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку, – со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон?