Олимпиадные задачи из источника «2016 год» для 10 класса - сложность 3 с решениями

Каждое целое число на координатной прямой покрашено в один из двух цветов – белый или чёрный, причём числа 2016 и 2017 покрашены разными цветами. Обязательно ли найдутся три одинаково покрашенных целых числа, сумма которых равна нулю?

Дана треугольная пирамида <i>ABCD</i> с плоскими прямыми углами при вершине <i>D</i>, в которой  <i>CD = AD + DB</i>.

Докажите, что сумма плоских углов при вершине <i>C</i> равна 90°.

Германн и Чекалинский разложили на столе 13 различных карт. Каждая карта может лежать в одном из двух положений: рубашкой вверх или рубашкой вниз. Игроки должны по очереди переворачивать по одной карте. Проигрывает тот игрок, после хода которого повторится какая-то из предыдущих ситуаций (включая изначальную). Первый ход сделал Чекалинский. Кто сможет выиграть независимо от того, как будет играть соперник?