Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

Даны  <i>n</i> + 1  попарно различных натуральных чисел, меньших 2<i>n</i>  (<i>n</i> > 1).

Докажите, что среди них найдутся три таких числа, что сумма двух из них равна третьему.

Дана равнобокая трапеция <i>ABCD</i>  (<i>AD || BC</i>).  На дуге <i>AD</i> (не содержащей точек <i>B</i> и <i>C</i>) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка <i>M</i>. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из вершин <i>A</i> и <i>D</i> на отрезки <i>BM</i> и <i>CM</i>, лежат на одной окружности.

Вася придумал новую шахматную фигуру "супер-слон". Один "супер-слон" (обозначим его <i>A</i>) бьёт другого (обозначим его <i>B</i>), если они стоят на одной диагонали, между ними нет фигур, и следующая по диагонали клетка за "супер-слоном" <i>B</i> свободна. Например, на рисунке фигура <i>a</i> бьёт фигуру <i>b</i>, но не бьёт ни одну из фигур <i>c, d, e, f</i> и <i>g</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116871/problem_116871_img_2.gif"></div>Какое наибольшее количество "супер-слонов" можно поставить на шахматную доску так, чтобы каждый из них бился хотя бы одним другим?

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>L</i> и <i>K</i> соответственно, <i>M</i> – точка пересечения отрезков <i>AK</i> и <i>CL</i>. Известно, что площадь треугольника <i>AMC</i> равна площади четырёхугольника <i>LBKM</i>. Найдите угол <i>AMC</i>.

Квадратный трёхчлен  <i>ax</i>² + 2<i>bx + c</i>  имеет два различных корня, а квадратный трёхчлен  <i>a</i>²<i>x</i>² + 2<i>b</i>²<i>x + c</i>²  корней не имеет.

Докажите, что у первого трёхчлена корни разного знака.

Расставьте в кружках, расположенных в вершинах квадрата и в его центре, пять натуральных чисел так, чтобы каждые два числа, соединенные отрезком, имели общий делитель, больший 1, а любые два числа, не соединенные отрезком, были бы взаимно просты. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116868/problem_116868_img_2.gif"></div>