Олимпиадные задачи из источника «10-11 класс» для 4-10 класса - сложность 2-4 с решениями

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Пусть ω – его описанная окружность, точка <i>M</i> – середина стороны <i>BC, P</i> – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ и ω, <i>T</i> – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках <i>B</i> и <i>C, S</i> – точка пересечения <i>AT</i> и ω. Докажите, что <i>P, A</i>₁, <i>S</i> и середина отрезка <i>MT</i> лежат на од...

Вписанная окружность неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB, BC</i> и <i>ABC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно. Описанная окружность треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ пересекает прямые <i>B</i>₁<i>A</i>₁ и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>A</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Докажите, что ортоцентр <i>H</i> треугольник...

Докажите, что окружность, построенная на стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> как на диаметре, касается его вписанной окружности тогда и только тогда, когда сторона <i>AB</i> равна радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны.

На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.

Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.

Какое наибольшее количество граней n-угольной пирамиды может быть перпендикулярно основанию?

Один квадрат вписан в окружность, а другой квадрат описан около той же окружности так, что его вершины лежат на продолжениях сторон первого (см. рисунок). Найдите угол между сторонами этих квадратов. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66141/problem_66141_img_2.gif"></div>