Олимпиадные задачи из источника «13 (2015 год)» для 11 класса - сложность 3 с решениями
13 (2015 год)
НазадВ пространстве дан треугольник <i>ABC</i> и сферы <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub>, каждая из которых проходит через точки <i>A, B</i> и <i>C</i>. Для точек <i>M</i> сферы <i>S</i><sub>1</sub>, не лежащих в плоскости треугольника <i>ABC</i>, проводятся прямые <i>MA, MB</i> и <i>MC</i>, пересекающие сферу <i>S</i><sub>2</sub> вторично в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i...
В треугольнике <i>ABC</i> <i>M</i> – середина стороны <i>BC, P</i> – точка пересечения касательных в точках <i>B</i> и <i>C</i> к описанной окружности, <i>N</i> – середина отрезка <i>MP</i>. Отрезок <i>AN</i> пересекает описанную окружность в точке <i>Q</i>. Докажите, что ∠<i>PMQ</i> = ∠<i>MAQ</i>.
<i>O</i> – точка пересечения диагоналей трапеции <i>ABCD</i>. Прямая, проходящая через <i>C</i> и точку, симметричную <i>B</i> относительно <i>O</i>, пересекает основание <i>AD</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что <i>S<sub>AOK</sub> = S<sub>AOB</sub> + S<sub>DOK</sub></i>.