Олимпиадные задачи из источника «8-9 класс» - сложность 3-4 с решениями

Внутри равнобедренного прямоугольного треугольника <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i> взята такая точка <i>M</i>, что угол <i>MAB</i> на 15&deg больше угла <i>MAC</i>, а угол <i>MCB</i> на 15&deg больше угла <i>MBC</i>. Найдите угол <i>BMC</i>.

Отрезок <i>AD</i> – диаметр описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Через точку <i>H</i> пересечения высот этого треугольника провели прямую, параллельную стороне <i>BC</i>, которая пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно.

Докажите, что периметр треугольника <i>DEF</i> в два раза больше стороны <i>BC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> серединные перпендикуляры к сторонам <i>AB</i> и <i>BC</i> пересекают сторону <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно, причём точка <i>P</i> лежит на отрезке <i>AQ</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>PBC</i> и <i>QBA</i> пересекаются на биссектрисе угла <i>PBQ</i>.