Олимпиадные задачи из источника «08 (2010 год)» для 10 класса - сложность 1-5 с решениями

B треугольнике <i>ABC</i> точка <i>O</i> – центр описанной окружности. Прямая <i>a</i> проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины <i>A</i>, и параллельна <i>OA</i>. Aналогично определяются прямые <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.

Bсе ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 1, а все вершины лежат на боковой поверхности (бесконечного) прямого кругового цилиндра радиуса <i>R</i>. Найдите все возможные значения <i>R</i>.

Из вершины <i>A</i> параллелограмма <i>ABCD</i> опущены высоты <i>AM</i> на <i>BC</i> и <i>AN</i> на <i>CD</i>. <i>P</i> – точка пересечения <i>BN</i> и <i>DM</i>. Докажите, что прямые <i>AP</i> и <i>MN</i> перпендикулярны.

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно так, что  <i>S_KMC + S_KAC = S_ABC</i>.

Докажите, что все такие прямые <i>MK</i> проходят через одну точку.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины <i>C</i> на биссектрису угла <i>ABD</i>, пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>C</i>₁; перпендикуляр, опущенный из вершины <i>B</i> на биссектрису угла <i>ACD</i>, пересекает прямую <i>CD</i> в точке <i>B</i>₁. Докажите, что  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ || <i>AD</i>.

Bыпуклый <i>n</i>-угольник <i>P</i>, где  <i>n</i> > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.

Каковы возможные значения <i>n</i>, если <i>n</i>-угольник вписанный?