Олимпиадные задачи из источника «07 (2009 год)» для 8-10 класса - сложность 2-3 с решениями
07 (2009 год)
НазадНа медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть <i>C</i><sub>1</sub> – более удалённая от вершины <i>C</i> точка пересечения окружностей, построенных на медианах <i>AM</i><sub>1</sub> и <i>BM</i><sub>2</sub>. Точки <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub> определяются аналогично. Докажите, что прямые <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в одной точке.
В остроугольном треугольнике проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub>. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i> на прямую <i>AC</i>, проходит через центр вписанной окружности треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>CB</i><sub>1</sub>.
Трапеция <i>ABCD</i> и параллелограмм <i>MBDK</i> расположены так, что стороны параллелограмма параллельны диагоналям трапеции (см. рис.). Докажите, что площадь серой части равна сумме площадей черных частей.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116085/problem_116085_img_2.png"></div>
В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это быть правдой?
Постройте треугольник по стороне, радиусу вписанной окружности и радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны. (<i>Исследование проводить не требуется.</i>)
В треугольнике <i>ABC AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> – высоты. На стороне <i>AB</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что <i>B</i><sub>1</sub><i>K || BC</i> и <i>MA</i><sub>1</sub> || <i>AC</i>. Докажите, что ∠<i>AA</i><sub>1</sub><i>K</i> = ∠<i>BB</i><sub>1</sub><i>M</i>.
Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.