Олимпиадная задача по планиметрии: математик ищет клад на круглом острове, 8-9 класс

Пусть O – центр острова, A – точка старта, w – окружность с центром в точке O и радиусом 500 м, l₁ и l₂ – касательные к w, параллельные OA (см. рис.).

Покажем, что можно получить сигнал прибора, пройдя менее 3,5 км, откуда следует ответ. Нужно пройти 500 м по направлению к центру острова, а затем идти по окружности w. Если мы не получили сигнала, пока двигались к центру острова, тоего нет в заштрихованной области, следовательно, его нет и внутри криволинейного треугольника OBC. Двигаясь из точки X в точку Y по большей дуге окружности w мы гарантированно получим сигнал, поскольку будут охвачены все точки острова.Так как треугольник OBC – равносторонний, то ∠BOA = 30°, следовательно, по малой окружности мы пройдем не более ¹¹/₁₂π, то есть, всего будет пройдено не более, чем ¹¹/₁₂π + 0,5 < 3,5 км.

да, может.