Олимпиадные задачи из источника «2014 год» для 7-8 класса - сложность 2 с решениями
Все коэффициенты квадратного трёхчлена – нечётные целые числа. Докажите, что у него нет корней вида <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub>, где <i>n</i> – натуральное число.
В прямоугольнике <i>ABCD</i> точка <i>M</i> – середина стороны <i>CD</i>. Через точку <i>C</i> провели прямую, перпендикулярную прямой <i>BM</i>, а через точку <i>M</i> – прямую, перпендикулярную диагонали <i>BD</i>. Докажите, что два проведённых перпендикуляра пересекаются на прямой <i>AD</i>.
Натуральные числа от 1 до 2014 как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные 1007 сумм перемножили.
Мог ли результат оказаться квадратом натурального числа?
Будем называть <i>змейкой</i> ломаную, у которой все углы между соседними звеньями равны, причём для любого некрайнего звена соседние с ним звенья лежат в разных полуплоскостях от этого звена (пример змейки см. на рисунке). Барон Мюнхгаузен заявил, что отметил на плоскости 6 точек и нашёл 6 разных способов соединить их (пятизвенной) змейкой (вершины каждой из змеек – отмеченные точки). Могут ли его слова быть правдой?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64708/problem_64708_img_2.gif"></div>
Витя хочет найти такое выражение, состоящее из единиц, скобок, знаков "+" и "×" что
- его значение равно 10;
- если в этом выражении заменить все знаки "+" на знаки "×", а знаки "×" на знаки "+", всё равно получится 10.
Приведите пример такого выражения.