Олимпиадные задачи из источника «2013 год» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Найдите такое значение $a > 1$, при котором уравнение $a^x = \log_a x$ имеет единственное решение.
Два пирата делили добычу, состоящую из пяти золотых слитков, масса одного из которых 1 кг, а другого – 2 кг. Какую массу могли иметь три других слитка, если известно, что какие бы два слитка ни выбрал себе первый пират, второй пират сможет так разделить оставшиеся слитки, чтобы каждому из них досталось золота поровну?
Дан правильный 4<i>n</i>-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>4<i>n</i></sub> площади <i>S</i>, причём <i>n</i> > 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A<sub>n</sub>A</i><sub><i>n </i>+1</sub><i>A</i><sub><i>n</i>+2</sub>.
Даны два приведённых квадратных трёхчлена. График одного из них пересекает ось <i>Ox</i> в точках <i>A</i> и <i>M</i>, а ось <i>Oy</i> – в точке <i>C</i>. График другого пересекает ось <i>Ox</i> в точках <i>B</i> и <i>M</i>, а ось <i>Oy</i> – в точке <i>D</i>. (<i>O</i> – начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники <i>AOC</i> и <i>BOD</i> подобны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/32897/problem_32897_img_2.gif"></div>