Олимпиадные задачи из источника «11 класс» для 9 класса - сложность 2-5 с решениями

Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине<i> A </i>квадрата<i> ABCD </i>находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке<i> A </i>). Вначале лиса сидит в точке<i> C </i>, а зайцы – в точках<i> B </i>и<i> D </i>. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше<i> v </i>, а зайцы – по лучам<i> AB </i>и<i> AD </i>со скоростью не больше 1. При каких значениях<i> v </i>лиса сможет поймать обоих зайцев?

Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладётся в её конец. Через некоторое число минут после включения конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите  а) наименьшее такое число,  б) все такие числа.

Через центр <i>O</i> вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой <i>AO</i> и пересекающая прямую <i>BC</i> в точке <i>M</i>.

Из точки <i>O</i> на прямую <i>AM</i> опущен перпендикуляр <i>OD</i>. Докажите, что точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> лежат на одной окружности.

На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок.

Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки?

Найдите наименьшее натуральное<i>n</i>, для которого число<i>nⁿ</i>не является делителем числа 2008!.