Олимпиадные задачи из источника «2007 год» для 10-11 класса - сложность 2 с решениями
На параболе <i>y = x</i>² выбраны четыре точки <i>A, B, C, D</i> так, что прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются на оси ординат.
Найдите абсциссу точки <i>D</i>, если абсциссы точек <i>A, B</i> и <i>C</i> равны <i>a, b</i> и <i>c</i> соответственно.
Существуют ли такие натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i>, что <i>x</i>² + <i>x</i> + 1 является натуральной степенью <i>y</i>, а <i>y</i>² + <i>y</i> + 1 – натуральной степенью <i>x</i>?
Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком-либо порядке числами 1, 2, ..., 20. Если секторы занумерованы, например, в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна 12 – 9 = 3.
Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3?
Каково наибольшее возможное значение этой величины?