Олимпиадные задачи из источника «8 класс» - сложность 3 с решениями

Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет ещё одну карту, и так сколько угодно раз, пока сам не скажет "стоп". Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?

В треугольник <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> вписана окружность, касающаяся сторон <i>AC, BC</i> и <i>AB</i> в точках <i>M, K</i> и <i>N</i> соответственно. Через точку <i>K</i> провели прямую, перпендикулярную отрезку <i>MN</i>. Она пересекла катет <i>AC</i> в точке <i>X</i>. Докажите, что  <i>CK = AX</i>.