Олимпиадные задачи из источника «2006 год» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями
Найти все несократимые дроби <sup><i>а</i></sup>/<sub><i>b</i></sub>, представимые в виде <i>b,а</i> (запятая разделяет десятичные записи натуральных чисел <i>b</i> и <i>а</i>).
Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии <i>a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,..., a<sub>5</sub></i>, все члены которой принадлежат отрезку [0; 3π/2], если числа cos <i>a<sub>1</sub></i>, cos <i>a<sub>2</sub></i>, cos <i>a<sub>3</sub></i>, а также числа sin <i>a<sub>3</sub></i>, sin <i>a<sub>4</sub></i> и sin <i>a<sub>5</sub></i> в некотором порядке тоже образуют арифметические прогрессии.
Один из двух приведённых квадратных трёхчленов имеет два корня, меньших 1000, другой – два корня, больших 1000. Может ли сумма этих трёхчленов иметь один корень меньший 1000, а другой – больший 1000?
В выражении (<i>x</i><sup>4</sup> + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + <i>x</i> + 2)<sup>2006</sup> раскрыли скобки и привели подобные слагаемые.
Докажите, что при некоторой степени переменной <i>x</i> получился отрицательный коэффициент.