Олимпиадные задачи из источника «10 класс» - сложность 2-3 с решениями
10 класс
НазадДана последовательность <i>a<sub>n</sub></i> = 1 + 2<sup><i>n</i></sup> + ... + 5<sup><i>n</i></sup>. Существуют ли пять идущих подряд её членов, кратных 2005?
Конструктор состоит из набора прямоугольных параллелепипедов. Все их можно поместить в одну коробку, также имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. В бракованном наборе одно из измерений каждого параллелепипеда оказалось меньше стандартного. Всегда ли у коробки, в которую укладывается набор, тоже можно уменьшить одно из измерений (параллелепипеды укладываются в коробку так, что их рёбра параллельны рёбрам коробки)?
На сторонах треугольника <i>ABC</i> вовне построены квадраты <i>ABB</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>BCC</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> и <i>CAA</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub>. На отрезках <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> также во внешнюю сторону от треугольников <i>AA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> построены квадраты <i>A</...
На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.
Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.