Олимпиадные задачи из источника «8 класс» - сложность 3-5 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> сторона <i>AC</i> наименьшая. На сторонах <i>AB</i> и <i>CB</i> взяты точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём  <i>KA = AC = CL</i>.  Пусть <i>M</i> – точка пересечения <i>AL</i> и <i>KC</i>, а <i>I</i> – центр вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности. Докажите, что прямая <i>MI</i> перпендикулярна прямой <i>AC</i>.

На шахматную доску произвольным образом уложили 32 доминошки (прямоугольника 1×2), так что доминошки не перекрываются. Затем к доске добавили одну клетку, как показано на рисунке. Разрешается вынимать любую доминошку, а затем класть её на две соседние пустые клетки. <img src="/storage/problem-media/105174/problem_105174_img_2.png"> Докажите, что можно расположить все доминошки горизонтально.

а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.) б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)