Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> симметричны точке <i>C</i> относительно прямых <i>AB</i> и <i>AD</i> соответственно.

Докажите, что прямая <i> PQ </i> проходит через ортоцентр <i>H</i> треугольника <i>ABD</i>.

Дано равенство  (<i>a</i>^<i>m</i>₁ – 1)...(<i>a</i>^{<i>m</i>_<i>n</i>} – 1) = (<i>a</i>^<i>k</i>₁ + 1)...(<i>a</i>^{<i>k</i>_<i>l</i>} + 1),  где <i>a, n, l</i> и все показатели степени – натуральные числа, причём  <i>a</i> > 1.

Найдите все возможные значения числа <i>a</i>.

На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живёт по 20 борцов. Был проведён турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня <i>А</i> считается сильнее деревни <i>Б</i>, если хотя бы <i>k</i> поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни <i>А</i>. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь <i>k</i>? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)

У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?

По периметру круглого торта диаметром <i>n</i>/<font face="Symbol">p</font> метров расположены <i>n</i> вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на <i>n</i> равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.

Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...,  такая, что  <i>P</i>(<i>a</i>₁) = 0,  <i>P</i>(<i>a</i>₂) = <i>a</i>₁,  <i>P</i>(<i>a</i>₃) = <i>a</i>₂  и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...  различны.

Для положительных чисел <i>x, y, z</i> выполнено равенство  ^<i>x</i>²/_<i>y</i> + ^<i>y</i>²/_<i>z</i> + ^<i>z</i>²/_<i>x</i> = ^<i>x</i>²/_<i>z</i> + ^<i>y</i>²/_<i>x</i> + ^<i>z</i>²/_<i>y</i>.  Докажите, что хотя бы два из чисел <i>x, y, z</i> равны между собой.