Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии: разрезание кругового торта с вишнями (Челноков Г. Р.)
Задача
По периметру круглого торта диаметром n/p метров расположены n вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на n равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.
Решение
Примем некоторую точку окружности за начало отсчёта. Пустьai- длина дуги от начала отсчёта доi-й вишенки по часовой стрелке. Рассмотрим числаbi=ai-i. Из условия следует, что |bm-bk|<1 для любыхm,k(достаточно рассмотреть две дуги, на которыеm-я иk-я вишенки разбивают периметр торта). Пустьbs- наименьшее из них, тогда 0<bi-bs<1 для любогоi. Отсюда следует, что найдётся такоеx, чтоx<bi<x+1 для всехi. Очевидно, что разрез по радиусам, проведённым в точки с координатамиx,x+1, ...,x+n-1, - искомый.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь