Олимпиадные задачи из источника «10 класс» для 8 класса - сложность 3 с решениями

Диагонали трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>K</i>. На боковых сторонах трапеции, как на диаметрах, построены окружности. Точка <i>K</i> лежит вне этих окружностей. Докажите, что длины касательных, проведённых к этим окружностям из точки <i>K</i>, равны.

Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.