Олимпиадные задачи из источника «8 класс» - сложность 1-4 с решениями

За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).

Числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₉₈₅ представляют собой переставленные в некотором порядке числа 1, 2, ..., 1985. Каждое число <i>a_k</i> умножается на его номер <i>k</i>, а затем среди полученных 1985 произведений выбирается наибольшее. Доказать, что оно не меньше, чем 993².

Найти все значения <i>x, y</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие равенству  (<i>x − y + z</i>)² = <i>x</i>² − <i>y</i>² + <i>z</i>².