Олимпиадные задачи из источника «1984 год» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.
В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное количество монет достоинством в <i>n</i><sub>1</sub>, <i>n</i><sub>2</sub>, <i>n</i><sub>3</sub>, ... копеек, где
<i>n</i><sub>1</sub> < <i>n</i> < <sub>2</sub> < <i>n</i><sub>3</sub> < ... – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число <i>N</i>, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в <i>n</i><sub>1</sub>, <i>n</i><sub&g...
Жюри олимпиады решило по её результатам сопоставить каждому участнику натуральное число таким образом, чтобы по этому числу можно было однозначно восстановить баллы, полученные участником за каждую задачу, и чтобы из каждых двух школьников большее число сопоставлялось тому, кто набрал большую сумму баллов. Помогите жюри решить эту задачу!
Не используя калькуляторов, таблиц и т.п., докажите неравенствоsin 1 < log<sub>3</sub>$\sqrt{7}$.
По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.