Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» для 9-10 класса - сложность 2-4 с решениями

На кубе отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно по одному разу?

Две одинаковые шестерёнки имеют по 92 зубца. Их совместили и спилили одновременно 10 пар зубцов. Доказать, что одну шестерёнку можно повернуть относительно другой так, что в местах сломанных зубцов одной шестерёнки окажутся целые зубцы второй шестерёнки.

Из отрезков, имеющих длины<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>, можно составить треугольник. Доказать, что из отрезков с длинами${\frac{1}{a+c}}$,${\frac{1}{b+c}}$,${\frac{1}{a+b}}$также можно составить треугольник.