Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» - сложность 1-4 с решениями
10 класс, 1 тур
НазадДоказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.
Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами при некоторых целых <i>x</i> принимает значения 1, 2 и 3.
Доказать, что существует не более одного целого <i>x</i>, при котором значение этого многочлена равно 5.
С натуральным числом <i>K</i> производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей <i>K</i> = <i>p</i><sub>1</sub><i>p</i><sub>2</sub>...<i>p<sub>n</sub></i>; затем вычисляется сумма <i>p</i><sub>1</sub> + <i>p</i><sub>2</sub> + ... + <i>p<sub>n</sub></i> + 1. С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.
На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.