Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 2 тур» для 4-9 класса - сложность 3 с решениями

В колбе находится колония из<i>n</i>бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

Внутри квадрата <!-- MATH $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ --> <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄ взята точка <i>P</i>. Из вершины <i>A</i>₁ опущен перпендикуляр на <i>A</i>₂<i>P</i>, из <i>A</i>₂ — перпендикуляр на <i>A</i>₃<i>P</i>, из <i>A</i>₃ — на <i>A</i>₄<i>P</i>, из <i>A</i>₄ — на <i>A</i>₁<i>P</i>. Докажите...