Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 1 тур» для 8-11 класса - сложность 2 с решениями

Имеется 1000 деревянных правильных 100-угольников, прибитых к полу. Всю эту систему мы обтягиваем верёвкой. Натянутая верёвка будет ограничивать некоторый многоугольник. Доказать, что у него более 99 вершин.

Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.

В Чили в феврале проходил международный турнир по футболу. Первое место с 8 очками занял местный клуб "Коло-Коло". На очко отстало московское "Динамо" и заняло второе место. Третье место с 4 очками занял бразильский клуб "Коринтианс". Четвёртое место занял югославский клуб "Црвена Звезда", также набравший 4 очка. Доказать, что по этим данным можно точно определить, сколько ещё команд участвовало в турнире и по сколько очков они набрали. (За победу присуждается 2 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)

Старинный замок был обнесён треугольной стеной. Каждая сторона стены была поделена на три равные части, и в этих точках, а также в вершинах были построены башни. Всего вдоль стены было 9 башен: <i>A, E, F, B, K, L, C, M, N</i>. Со временем все стены и башни, кроме башен <i>E, K, M</i>, разрушились. Как по оставшимся башням определить, где находились башни <i>A, B, C</i>, если известно, что башни <i>A, B, C</i> стояли в вершинах?