Олимпиадные задачи из источника «1968 год» - сложность 4 с решениями
Белые и чёрные играют в следующую игру. В углах шахматной доски стоят два короля: белый на a1, чёрный на h8. Играющие делают ход по очереди. Начинают белые. Играющий может ставить своего короля на любое соседнее поле (если только оно свободно), соблюдая следующие правила: нельзя увеличивать расстояние между королями (расстоянием между двумя полями называется наименьшее число шагов короля, за которое он может пройти с одного поля на другое: так, в начале игры расстояние между королями – 7 ходов). Выигрывает тот, кто поставит своего короля на противоположную кромку доски (белого короля на вертикаль h или восьмую горизонталь, чёрного – на вертикаль a или первую горизонталь). Кто выиграет при правильной игре?
Круглый пирог режут следующим образом. Вырезают сектор с углом$\alpha$, переворачивают его на другую сторону и весь пирог поворачивают на угол$\beta$. Дано, что$\beta$<$\alpha$< 180<sup><tt>o</tt></sup>. Доказать, что после некоторого конечного числа таких операций каждая точка пирога будет находиться на том же месте, что и в начале.
Две прямые на плоскости пересекаются под углом$\alpha$. На одной из них сидит блоха. Каждую секунду она прыгает с одной прямой на другую (точка пересечения считается принадлежащей обеим прямым). Известно, что длина каждого её прыжка равна 1 и что она никогда не возвращается на то место, где была секунду назад. Через некоторое время блоха вернулась в первоначальную точку. Докажите, что угол$\alpha$измеряется рациональным числом градусов.
Ковбой Джимми поспорил с друзьями, что сумеет одним выстрелом пробить все четыре лопасти <i>вертилятора</i>. (Вертилятор устроен следующим образом: на оси, вращающейся со скоростью 50 об/сек, расположены на равных расстояниях друг от друга четыре полудиска, повернутые друг относительно друга под какими-то углами). Джимми может стрелять в любой момент и добиваться произвольной скорости пуль. Доказать, что Джимми выиграет пари.
В пространство введены 4 попарно скрещивающиеся прямые,<i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>,<i>l</i><sub>3</sub>,<i>l</i><sub>4</sub>, причём никакие три из них не параллельны одной плоскости. Провести плоскость<i>P</i>так, чтобы точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>3</sub>,<i>A</i><sub>4</sub>пересечения этих прямых с<i>P</i>образовывали параллелограмм. Сколько прямых заметают центры таких параллелограммов?