Олимпиадные задачи из источника «1968 год» для 11 класса - сложность 2 с решениями
На поверхности кубика мелом отмечено 100 различных точек. Докажите, что можно двумя различными способами поставить кубик на чёрный стол (причём в точности на одно и то же место) так, чтобы отпечатки от мела на столе при этих способах были разными. (Если точка отмечена на ребре или в вершине, она тоже даёт отпечаток.)
В таблице <i>A</i> размером 10×10 написаны какие-то числа. Обозначим сумму всех чисел в первой строке через <i>s</i><sub>1</sub>, во второй – через <i>s</i><sub>2</sub> и т.д. Аналогично сумму чисел в первом столбце обозначим через <i>t</i><sub>1</sub>, во втором – <i>t</i><sub>2</sub> и т.д. Составлена новая таблица <i>B</i> размером 10×10, в неё вписаны числа следующим образом: в первой клетке первой строки пишется наименьшее из чисел <i>s</i><sub>1</sub> и <i>t</i><sub>1</sub>, в третьей клетке пятой строки пишется наименьшее из чисел <i>s</i><sub>5</sub> и <i>t</i><sub>3</sub&...
На плоскости нарисован правильный многоугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub><i>A</i><sub>5</sub>. Можно ли выбрать в плоскости множество точек, обладающее следующим свойством: через любую точку, не лежащую внутри пятиугольника, можно провести отрезок, концы которого являются точками нашего множества, а через точки, лежащие внутри пятиугольника, такого отрезка провести нельзя. <b>Примечание.</b>
-
Отрезок проходит через любую свою точку, в частности, через свой конец.
-
"Внутри" — значит строго внутри.
По заданной последовательности положительных чисел <i>q</i><sub>1</sub>,..., <i>q<sub>n</sub></i>, ... строится последовательность многочленов следующим образом:
<i>f</i><sub>0</sub>(<i>x</i>) = 1,
<i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>) = <i>x</i>,
...
<i>f</i><sub><i>n</i>+1</sub>(<i>x</i>) = (1 + <i>q<sub>n</sub></i>)<i>xf<sub>n</sub></i>(<i>x</i>) – <i>q<sub>n</sub>f</i><sub><i>n</i>–1</sub>(<i>x</i>).
Докажите, что все вещественные корни <i>n</i>-го мног...
Можно ли выбрать 100 000 номеров телефонов из 6 цифр каждый так, чтобы при одновременном вычеркивании из всех этих номеров<i>k</i>-той цифры(<i>k</i>= 1, 2,...6) получились все пятизначные номера от 00000 до 99999?
Можно ли расположить на плоскости 1968 отрезков так, чтобы каждый из них обоими концами упирался строго внутрь других отрезков?