Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» для 3-9 класса - сложность 2 с решениями
8 класс, 1 тур
НазадМожно ли расположить на плоскости 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими своими концами упирался строго внутрь других отрезков?
Выбрать 100 чисел, удовлетворяющих условиям <i>x</i><sub>1</sub> = 1, 0 ≤ <i>x</i><sub>1</sub> ≤ 2<i>x</i><sub>1</sub>, 0 ≤ <i>x</i><sub>3</sub> ≤ 2<i>x</i><sub>2</sub>, ..., 0 ≤ <i>x</i><sub>99</sub> ≤ 2<i>x</i><sub>98</sub>, 0 ≤ <i>x</i><sub>100</sub> ≤ 2<i>x</i><sub>99</sub>, так, чтобы выражение
<i>x</i><sub>1</sub> – <i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>3</sub> – <i>x</i><sub>4</sub> + ... + <i>x</i><sub>99</sub> – <i>x</i><sub>10...
Можно ли вписать в окружность выпуклый семиугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub><i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub><i>A</i><sub>7</sub>с углами<i>A</i><sub>1</sub>= 140<sup><tt>o</tt></sup>,<i>A</i><sub>2</sub>= 120<sup><tt>o</tt></sup>,<i>A</i><sub>3</sub>= 130<sup><tt>o</tt></sup>,<i>A</i><sub>4</sub>= 120<sup><tt>o</tt></sup>,<i>A</i><sub>5</sub>= 130<...
Даны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Докажите, что из них нельзя вычеркнуть сперва одно число, затем из оставшихся ещё два, затем ещё три и, наконец, ещё четыре числа так, чтобы после каждого вычёркивания сумма оставшихся чисел делилась на 11.
В шахматном турнире участвовало 12 человек. После окончания турнира каждый участник составил 12 списков. В первый список входит только он сам, во второй -- он и те, у кого он выиграл, в третий — все люди из второго списка и те, у кого они выиграли, и т.д. В 12 список входят все люди из одиннадцатого списка и те, у кого они выиграли. Известно, что для любого участника турнира в его двенадцатый список попал человек, которого не было в его одиннадцатом списке. Сколько ничейных партий было сыграно в турнире?