Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» для 10 класса - сложность 2-5 с решениями
8 класс, 1 тур
НазадМожно ли расположить на плоскости 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими своими концами упирался строго внутрь других отрезков?
Выбрать 100 чисел, удовлетворяющих условиям <i>x</i><sub>1</sub> = 1, 0 ≤ <i>x</i><sub>1</sub> ≤ 2<i>x</i><sub>1</sub>, 0 ≤ <i>x</i><sub>3</sub> ≤ 2<i>x</i><sub>2</sub>, ..., 0 ≤ <i>x</i><sub>99</sub> ≤ 2<i>x</i><sub>98</sub>, 0 ≤ <i>x</i><sub>100</sub> ≤ 2<i>x</i><sub>99</sub>, так, чтобы выражение
<i>x</i><sub>1</sub> – <i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>3</sub> – <i>x</i><sub>4</sub> + ... + <i>x</i><sub>99</sub> – <i>x</i><sub>10...
Можно ли вписать в окружность выпуклый семиугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub><i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub><i>A</i><sub>7</sub>с углами<i>A</i><sub>1</sub>= 140<sup><tt>o</tt></sup>,<i>A</i><sub>2</sub>= 120<sup><tt>o</tt></sup>,<i>A</i><sub>3</sub>= 130<sup><tt>o</tt></sup>,<i>A</i><sub>4</sub>= 120<sup><tt>o</tt></sup>,<i>A</i><sub>5</sub>= 130<...
В шахматном турнире участвовало 12 человек. После окончания турнира каждый участник составил 12 списков. В первый список входит только он сам, во второй -- он и те, у кого он выиграл, в третий — все люди из второго списка и те, у кого они выиграли, и т.д. В 12 список входят все люди из одиннадцатого списка и те, у кого они выиграли. Известно, что для любого участника турнира в его двенадцатый список попал человек, которого не было в его одиннадцатом списке. Сколько ничейных партий было сыграно в турнире?