Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» для 11 класса - сложность 1-4 с решениями
10 класс, 1 тур
НазадВ пространство введены 4 попарно скрещивающиеся прямые,<i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>,<i>l</i><sub>3</sub>,<i>l</i><sub>4</sub>, причём никакие три из них не параллельны одной плоскости. Провести плоскость<i>P</i>так, чтобы точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>3</sub>,<i>A</i><sub>4</sub>пересечения этих прямых с<i>P</i>образовывали параллелограмм. Сколько прямых заметают центры таких параллелограммов?
По заданной последовательности положительных чисел <i>q</i><sub>1</sub>,..., <i>q<sub>n</sub></i>, ... строится последовательность многочленов следующим образом:
<i>f</i><sub>0</sub>(<i>x</i>) = 1,
<i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>) = <i>x</i>,
...
<i>f</i><sub><i>n</i>+1</sub>(<i>x</i>) = (1 + <i>q<sub>n</sub></i>)<i>xf<sub>n</sub></i>(<i>x</i>) – <i>q<sub>n</sub>f</i><sub><i>n</i>–1</sub>(<i>x</i>).
Докажите, что все вещественные корни <i>n</i>-го мног...
Можно ли разбить все целые неотрицательные числа на 1968 непустых классов так, чтобы в каждом классе было хотя бы одно число и выполнялось бы следующее условие: если число <i>m</i> получается из числа <i>n</i> вычёркиванием двух рядом стоящих цифр или одинаковых групп цифр, то и <i>m</i>, и <i>n</i> принадлежат одному классу (например, числа 7, 9339337, 93223393447, 932239447 принадлежат одному классу)?